You Are Here: Home Toán học Giải phương trình bậc 3

I, PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 
 - Phương trình bậc 3 là 1 trong các dạng của phương bậc lẻ, nó luôn có ít nhất 1 nghiệm và có nhiều nhất là 3 nghiệm
 - Phương trình bậc 3 có dạng tổng quát : ax³ + bx² + cx + d = 0
==> Pt <=> f(x) = x³ + Bx² + Cx + D = 0 
**Có thể phân tích thành nhân tử ==> nghiệm của phương trình
** Phương trình này có tâm đối xứng là điểm uốn của nó I(-b/3a,f(-b/3a))  .Dùng phương pháp đổi trục :
 , ta biến đổi thu được 1 phương trình bậc 3 mới : g(X) = X³ + pX +q = 0. Đây là 1 dạng pt có thể giải được :
1, Trường hợp p>0:-Ta có g'(X) = 3X² + p > 0 => pt có 1 nghiệm
-Áp dụng hằng đẳng thức sau :
  a³ + b³ +c³ - 3abc = (a +b +c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc).Đặt a=X
=>ta tìm b,c sao thỏa hệ:
          
Khi đó ta sẽ tìm được nghiệm pt X=a= -(b+c).
* Ta xét 1 ví dụ sau : giải pt : x³ + 3x +1 =0
    
=> b, c là nghiệm của pt :( vì b, c có vai trò như nhau)
=>t³=(1+ )/2 =>b = , c = 
=>x = -(b+c) = - + )
2, Trường hợp p<0 :  Cách 1 : 
-Ta có thể dùng phương pháp lượng giác hoá như sau: đặt X=2acost, (có thể đặt theo sint) với a>0 , t thuộc [0, 
PT <=> 8a³cos³t + 2apcost + q = 0
         <=> 2a³(4cos³t + p/a²cost) + q = 0
Tìm a thỏa  p/a² = -3  => a=
 2a³cos3t = -q
. 
*Qua đó ta thấy điều kiện để áp dụng được cách này là   
* Ví dụ : Giải phương trình : x³ - 3x -1 =0
Theo như cách đặt trên thì ta có a=1 
=> cos3t= 1/2 => t=20
=> x= 2cos  (đây mới là 1 nghiệm ,với t thuộc khoảng cho trước ta có thể tìm ra các nghiệm còn lại nếu có)
 Cách 2 :
- Ta có thể dùng lại cách ở trường hợp 1, song ở cả 2 cách này có trường hợp không chỉ ra được nghiệm thực của bài toán

Tags: Toán học